圖2-1  質量守恒的微元體

將質量守恒定律應用到高溫流體流動中（如圖2-1）所示，即得連續性方程：

在不穩(wen)定流(liu)(liu)(liu)動時，流(liu)(liu)(liu)入(ru)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量(liang)(liang)與流(liu)(liu)(liu)出(chu)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量(liang)(liang)之(zhi)差應等于封(feng)閉空(kong)間中流(liu)(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量(liang)(liang)的變化；而在穩(wen)定流(liu)(liu)(liu)動時則流(liu)(liu)(liu)入(ru)流(liu)(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量(liang)(liang)必然等于流(liu)(liu)(liu)出(chu)的流(liu)(liu)(liu)體(ti)質(zhi)量(liang)(liang)，其數(shu)學(xue)表達(da)式即為連續(xu)性(xing)方程。在直角坐(zuo)標系(xi)中

不穩(wen)定(ding)流(liu)動時(shi)

（2-1）

穩定流動時，則

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

用ρu的散度divpu或 pu表示上式左邊的三項之和則，

div u=▽·u=0

在(zai)柱(zhu)坐標系中(zhong)

不穩定(ding)流動時(shi)

（2-2）

穩定流動時

（2-2a）

對于不可壓縮流體，ρ=const，則連續性方程為

（2-2b）

直角坐標和柱(zhu)坐標之間的換算公式如下：

（2-3）

連(lian)續性方程表示了流體運動時，其速度(du)與密度(du)之間的關系(xi)。

二、能量方程

根據能量守恒定律、加到流體中的熱能q和壓力所作的功之和，等于流體對外所作的機械功W、克服摩擦所消耗的功Wf以(yi)及動能，位能（gZ2-gZ1）和內能增量cu（T2-T1）之和。能量方程的數學表達式則為

（2-4）

其(qi)微分形式為

（2-4a）

式中，而

兩者之和為（i2-i1）

三、粘(zhan)性流體(ti)運動(dong)方程

根據牛頓第二定律，考慮到流體的粘性剪切力即可得不可壓縮粘性流體運動微分方程式，該式又稱為納維—斯托克斯方程，簡稱N-S方程，這是流體動力學基本方程之一，在直角坐標系中表示為（見圖2-2）。

（2-5）

方程組中左邊(bian)*項(xiang)為(wei)(wei)單位質量力；左邊(bian)第二項(xiang)為(wei)(wei)壓力，第三項(xiang)為(wei)(wei)摩擦(ca)力，合(he)稱(cheng)為(wei)(wei)表面(mian)力；右(you)邊(bian)為(wei)(wei)慣(guan)性力。

在柱坐標系中則(ze)表(biao)示為

（2-）

圖2-2  粘性流體運動分析

式中(zhong)一直(zhi)角坐標拉普(pu)拉斯(si)算(suan)子(zi)

一柱坐標用拉(la)普拉(la)斯(si)算子(zi)；

一歐拉系數。

對于可壓縮流體，考慮氣體的可壓縮性、N-S方程具有下列形式：對于直角坐標為

（2-6）

對于柱坐標系(xi)則(ze)表(biao)示為：

（2-6a）

N-S方程是粘性流體zui一般性的方程。加上連續性方程共有四個方程式，當邊界條件和初始條件確定后，原則上可求解不可壓縮粘性流體運動問題中的四個未知數ux、uy、uz和p。許多層流問題，如園管層流、平行平面間層流、同心園環間層流都可以用N-S方程求出解，而且流體潤滑問題也可用N-S方程求近似解。